Jak obliczyć funkcję Bessela

Funkcje Bessela są cylindrycznie symetrycznymi rozwiązaniami równania różniczkowego drugiego rzędu zwanego równaniem Bessela, które można zapisać jako:

 (z^2)*F''(z) + z*F''(z) - (z^2 + n^2)*F(z)=0; 

gdzie F' odnosi się do pierwszej pochodnej funkcji F względem z, a F'' jest drugą pochodną. Równania różniczkowe tego typu reprezentują wiele różnych problemów fizycznych, w tym rozpraszanie cząstek jądrowych, transmisję światła przez światłowód i przewodzenie ciepła. Istnieje kilka różnych typów funkcji Bessela. Dwa, które najczęściej reprezentują rozwiązania problemów fizycznych, to funkcje Bessela pierwszego rodzaju i sferyczne funkcje Bessela.

• Funkcje Bessela są cylindrycznie symetrycznymi rozwiązaniami równania różniczkowego drugiego rzędu zwanego równaniem Bessela, które można zapisać jako: gdzie F' odnosi się do pierwszej pochodnej funkcji F względem z, a F'' jest drugą pochodną.
  
• Dwie funkcje, które najczęściej reprezentują rozwiązania problemów fizycznych, to funkcje Bessela pierwszego rodzaju i sferyczne funkcje Bessela.

Funkcje Bessela pierwszego rodzaju mogą być wyrażone przez nieskończony szereg

 J_nu(x)=((x/2)^2)*Sum_[k=0,nieskończoność]{((-1)^k)*([(x^2)/4]^k)/[k!Gamma(k+nu+1)]}             

Alternatywnie, dla liczb całkowitych nu, funkcje Bessela można podać za pomocą całki

 J_nu(x)=(1/pi)*Integral_[0, pi] {cos(nu*tau - x*sin(tau))d-tau} 

As an alternative, numerical values and interpolation formulas for the Bessel functions may be found in many books of mathematical tables, some available online, such as Briggs and Lowan's "Table of the Bessel Functions," sponsored by the National Bureau of Standards and published in 1943 by the Columbia University Press.

Istnieją również wielomianowe przybliżenia funkcji Bessela, które można znaleźć w tekstach takich jak Abramowitz i Stegun's Handbook of Mathematical Functions. Na przykład, J_0(x) dla -3<x<3 może być przybliżone przez

• As an alternative, numerical values and interpolation formulas for the Bessel functions may be found in many books of mathematical tables, some available online, such as Briggs and Lowan's "Table of the Bessel Functions", sponsored by the National Bureau of Standards and published in 1943 by the Columbia University Press.
  
• Istnieją również wielomianowe przybliżenia funkcji Bessela, które można znaleźć w tekstach takich jak Abramowitz i Stegun's Handbook of Mathematical Functions.

 J_0(x)=1 - 2.250*(x/3)^2 + 1.266*(x/3)^4 - .317*(x/3)^6 + .044*(x/3)^8 - .004*(x/3)^10 +...             

Zdecydowanie najprostszą metodą uzyskania wartości funkcji Bessela i użycia ich do reprezentacji rozwiązań problemów fizycznych jest użycie wbudowanych funkcji bibliotecznych, które są dostarczane z pakietami oprogramowania matematycznego. Oczywiście takie pakiety jak Mathematica, Matlab, Mathcad i inne dedykowane oprogramowanie matematyczne mają wbudowane funkcje Bessela, ale nawet bardziej podstawowe pakiety często mają funkcje Bessela jako część swojej biblioteki. Na przykład narzędzie "Grapher" dołączone do systemu OS X firmy Apple ma wbudowaną funkcję Bessela.

Pamiętaj, że istnieje więcej niż jeden typ funkcji Bessela, więc uważaj, aby sprawdzić, czy używasz wbudowanej funkcji, której myślisz, że używasz.

Sferyczne funkcje Bessela

Istnieje specjalna klasa funkcji Bessela, które reprezentują rozwiązanie problemów z symetrią sferyczną. W szczególności, sferyczne funkcje Bessela reprezentują radialną część funkcji falowej dla elektronów krążących wokół jądra.

 j_0(kr)=sin(kr) j_1(kr)=sin(kr)/(kr)^2 - cos(kr)/kr j_2(kr)=3*sin(kr)/(kr)^3 - 3*cos(kr)/(kr)^2 -.sin(kr)/kr 

Sferyczne funkcje Bessela można wygenerować z j_0(kr) za pomocą zależności

 j_p(kr)=(-r/k)^p * ((1/r)(d/dr))^p j_0(kr) 

Podobnie jak funkcje Bessela pierwszego rodzaju, sferyczne funkcje Bessela są zawarte w pakietach matematycznych i można je znaleźć również w tablicach matematycznych.